3.1 수열과 점화식

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AI를 위한 기초수학

 

1. 수열

정해진 규칙에 따라 차례로 나열한 수

 

예제

a. a1= 5, a2= 7, a3= 9, a4= 11, a5= 13

b. a1= 1, a2 = 2, a3= 3, a4= 4, a5= 29

 

2-1. 등차수열

일정한 숫자를 차례로 더해서 만든 수열

 

d = 공차 common difference

$ a_{n+1} = a_{n} + d (n =1,2,3, ...) $

$ a_{n} = a+ (n-1)d$

 

예제

a. $ a_{n} $ = -4n + 3

b. $ a_{n} $ = 5n - 1

 

 

2-2. 등차수열의 합

 

예제

a. $ S_{n} = \frac{n(3n+7)}{2} $

$ S_{10} $ = 185

 

b.

$ S_{n)  = 11n $

$ S_{10} $ = 110

N = 10
a = 5
d = 3

sum1 =0
for n in range(1,N+1):
    sum1 = sum1 + (a+(n-1)*d)
    sum2 = N*(2*a+(N-1)*d)/2

print("S10 = ", sum1, "by summation")
print("S10 = ", sum2, "by theorem 3-2")

 

 

 

3-1. 등비수열

첫 번째 항 a에 차례로 일정한 수 r을 곱해서 만든 수열

r 공비 common ratio

$ a_{n} = ar^{n-1} $

 

예제

a. 2*3^{n-1}

b. 3*2^{n-2}

 

3-2. 등비수열의 합

 

예제

S6 = 210

 

4. 수열의 합

$ \sum $ 시그마 Sigma

 

예제

a. $ \sum_{k=1}^{20}(3k-1) $

b. $ \sum_{k=1}^{50}(2k-1)^2 $

 

 

예제

a. 330

N = 10

sum1 =0
for k in range(1,N+1):
    sum1 = sum1 + (k**2-k)
sum2 = N*(N+1)*(2*N+1)/6-N*(N+1)/2

print("S10 = ", sum1, "by summation")
print("S10 = ", sum2, "by theorem")

b. 270

 

5. 점화식 recurrence formula

주어진 수열의 이웃하는 여러 항 사이의 관계식을 나타낸 것

 

예제

(n+1)(2n^2-5n+6) / 3

2^{(n-1)n / 2}

a_{n} = 3^n +1

 

 

 

확인문제

1. 45

2.

a10 = 25

S10 = 115

3. 

1275

4. 

a. 5675

b. 2^45 +10

5. 

a. 1/n

b. 2^{n-1} + 1