3.3 함수의 극한

http://www.kocw.net/home/cview.do?lid=570a928287660abb

AI를 위한 기초수학

 

$ \displaystyle \lim_{x \to a+}f(x) = A $

함수 $f(x)$ 가 어떤 값 A에 가까워지면 A를 x=a에서의 $f(x)$의 우극한 right-sided limit

 

$ \displaystyle \lim_{x \to a-}f(x) = B $

함수 $f(x)$ 가 어떤 값 B에 가까워지면 A를 x=a에서의 $f(x)$의 좌극한 left-sided limit

 

 

## 개념정리 : 극한 ⊃ 연속 ⊃ 미분가능

 

① 극한값 존재 가능 조건

$ \displaystyle \lim_{x \to a+}f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a-}f(x) = A $

좌극한값과 우극한값이 같으면 극한값이 존재한다. 

만약 이 함수처럼 좌극한값과 우극한값이 다르면, 극한값은 존재하지 않는것.

 

② 연속 

$ \displaystyle \lim_{x \to a+}f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a-}f(x) = f(a) = A $ 이라면 해당 함수는 연속함수.

 

이 그래프는 좌, 우극한값 =\= f((2))이다. 

 

③ 좌미분값 =\= 우미분값 이라면 미분이 불가하다.

 

 

예제 3-19

$ \displaystyle \lim_{x \to 1-}f(x) $ = -2

$ \displaystyle \lim_{x \to 1+}f(x) $ = 1

 

예제 3-20

a. 17

b. -10

b의 경우 x가 -5에 가까워지는 것 즉 그 상태인 것이지, -5인 것은 아니다. 따라서 x+5 라는 분모가 가능한것이며, 해당 값으로 분모 분자를 나눌 수 있다. 

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(3,5,201)
fx = x**2+1
x1 = 4
fx1 = x1**2+1
plt.plot(x,fx,'k',x1,fx1,'o') 
# x와 fx를 선 그래프로 그리기
# 'k': 선 색깔을 검정(black) 으로 지정
# x1 = 4, fx1 = 17 위치에 동그란 마커('o') 하나 찍기
plt.show()

x1 = np.linspace(-6,-5-0.015,101)
x2 = -5
x3 = np.linspace(-5+0.015,-4,101)

gx1 = (x1**2-25)/(x1+5)
gx2 = -10
gx3 = (x3**2-25)/(x3+5)

plt.plot(x1,gx1,'k',x3,gx3,'k')
plt.plot(x2,gx2,'o',mfc='none')
plt.show()

 

 

예제 3-21

a. 0

b. -∞

 

예제 3-22

16/9

 

예제 3-23

4

 

예제 3-24

a. 5

b. 1/2

 

 

확인문제

1.  

해당 등식이 성립하려면 f((x))의 극한값과 g((x))의 극한값이 모두 수렴해야한다.

2.

x > 0, f((x)) = 1

x < 0, f((x)) = -1

x = 0, 값이 존재하지 않음

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-3,3,601)
x = x[x != 0]

x_left = x[x<0]
x_right = x[x>0]

fx_left = np.full_like(x_left, -1)
fx_right = np.full_like(x_right, 1)

plt.plot(x_left, fx_left, 'b')
plt.plot(x_right, fx_right, 'b')

# x=0 근처 빈 원으로 불연속점 표시
plt.plot(0, -1, 'bo', mfc='none')
plt.plot(0, 1, 'bo', mfc='none')

plt.axhline(0, color = 'gray', lw = 1)
plt.axvline(0, color = 'gray', lw = 1)
plt.show()

 

3.

a.  242/9

b. ∞

4.

25/4

5.

1