3.4 함수의 연속

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AI를 위한 기초수학

 

1. 연속

 

예제 3-25

a. 연속

1)) f((0)) = 1

2)) $ \displaystyle \lim_{x \to 0} = 1 $

3) f((0)) = $ \displaystyle \lim_{x \to 0}  $ = 1

 

b. 불연속

0+ g((x)) = 1

0- g((x)) = -1

g((0)) = 존재하지 않음. 

 

예제 3-26

a = 11, b = 18

 

2. 최대, 최소

닫힌 구간 [a, b]에서 함수 f((x))가 연속이면, f((x))는 구간 [a, b]에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

 

예제 3-27

a. 최댓값 1. 최솟값 -3.

b. 최댓값 49/3. 최솟값 7/2

 

3. 중간값 정리

함수 f((x))가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 f((a)) =\=  f((b))이면, f((a))와 f((b)) 사이의 값 k에 대하여 f((c)) = k를 만족하는 c $\in $ ((a, b))가 적어도 하나 존재한다.

 

예제 3-28

f((0)) = π /2 > 0, f(( π)) = - π/2 < 0 

따라서 중간값 정리에 의해 f((c)) = 0을 만족하는 값이 적어도 하나 존재함.

 

 

확인문제

1.

참

 

2.

a. 불연속. 

f((1)) 가 정의되지 않기에.

b. 

x > 1 g((x)) = x-1

x < 1 g((x)) = -x+1

g(1) = 0 

 $ \displaystyle \lim_{x \to 1}  $ g((x)) = g((1)) = 0

 

3.

a = 1 b =2

4.

a. 최댓값 = 8 최솟값 = -1

b. 최댓값 = -1 최솟값 - $ log_{2}{5}  $

5. 

f((x)) = x3=x+3

f((-2)) = -3, f((1)) = 3 

따라서 적어도 하나의 실근을 가진다.