wintertreey 님의 블로그
1.3 역함수 본문
http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=d87b1823aee4cf64
AI를 위한 기초수학
이 강좌에서는 대학에서 다루는 미분적분학 관련 교과목을 전공하는데 필요한 기초적인 수학적 지식과 그 응용에 대해 알아본다. 특히 AI수학, 미분적분학과벡터해석1, 미분적분학과벡터해석(
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전단사함수란
단사 함수 injective func.

정의역의 원소들은 모두 공역의 원소 중 단 하나에 대응하는 함수
-> 임의의 x1, x2 ∈ A 에 대하여 f(x1) = f(x2) 이면 x1=x2이다.
전사 함수 surjective func.

공역 = 치역인 함수
-> 임의의 y ∈ B 에 대하여 y=f(x) 를 만족하는 x ∈ A가 존재한다.
전단사 함수 bijective func.

전사, 단사를 모두 만족하는 함수. 일대일 대응.
역함수
◇ : 항등원 △ : 역원 이라고 가정, 덧셈공식에서의 항등원과 역원에 대해서 복기해보자.
3 + ◇ = 3
3+ △ = ◇
똑같이 함수에 적용해볼 수 있다.
g∘◇=g
3∘△=◇
(f∘g)−1(x)=g−1∘f−1≠f−1∘g−1
f(x) = x^2이 역함수가 존재할까?
안되는 이유
1. 전사함수
2. y > 0 && x ∈ R
+ 문제상에선 공역의 범위를 언급하지 않았다. 공역이 [0, ∞) 임을 언급해줬어야 한다.
만약 정의역을 {x | x > = 0인 실수}라고 정했다면

x=np.linspace(0,5,501)
def f(x):
return x**2
def g(x):
return np.sqrt(x)
def h(x):
return x
plt.plot(x, f(x), x, g(x), x, h(x))
plt.axis('equal') # x축, y축 스케일을 동일하게 만들어 대칭 확인이 쉬움
plt.grid(True) # 격자선 표시
plt.ylim(0,6)
plt.show()
f(x)=3x−4,g(x)=x2+1

def f(x):
return 3*x-4
def f_inv(x):
return (x+4)/3
def identity(x):
return x
x=np.linspace(-1,5,601)
graph, = plt.plot(x,f(x))
graph1,= plt.plot(x,f_inv(x))
graph2,= plt.plot(x,identity(x), '--')
plt.legend(handles=(graph,graph1,graph2),
labels=(r'$y=f(x)$', r'$y=f^{-1}(x)$', r'$y=x$'))
plt.ylim(-1,5)
plt.show()

def identity(x):
return x
def g(x):
return x**2+1
def g_inv(x):
return np.sqrt(x-1)
x=np.linspace(0,6,601)
graph, = plt.plot(x,g(x))
graph1, = plt.plot(x,g_inv(x))
graph2, = plt.plot(x,identity(x), '--')
plt.legend(handles=(graph,graph1,graph2),
labels=(r'$y=g(x)$', r'$y=g^{-1}(x)$', r'$y=x$'))
plt.ylim(0,6)
plt.show()
확인문제
1.
참
2.
1) injective func.?
서로 다른 입력값이 서로 다른 출력값으로 가는지.
f(x1)=f(x2)−>x1=x2
A: true
2) surjective func.?
모든 공역에 대해 적어도 하나의 정의역이 존재하여 f(x) =y를 만족하는지.
f(x)=y
A: true
3.
y=x-1/x-2
4.
f−1(1)=0
5.
fx와 역함수 f^-1x의 교점이 존재한다면, 그 교점은 y=x와 도 만난다.
따라서 fx = x인 값이 존재하는지 확인하면 된다.
x^3+x+1 = x
x=-1
번외
파이썬코딩시 오류문을 만나서 해당 부분에 대한 설명을 첨부해서 기록한다.
graph1, =plt.plotx,y1
graph1 =plt.plotx,y1 차이
graph1, =plt.plotx,y1
의도적으로 단일 객체만을 변수에 저장. 리스트 내부의 첫 번째 원소예시에서는graph[0] 를 저장.
이 코드에서 ,쉼표는 언팩을 의미.
graph1 =plt.plotx,y1
리스트를 반환. 이 경우 graph1는 리스트 형태.
https://blog.naver.com/obrigadu/50100112933
단사Injective, 전사Surjective, 전단사Bijective
함수에는 정의역과 공역이 있으며 상, 원상, 치역 등이 있다고 했었다. 이들이 어떤 방식으로 이루어지느냐...
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