2.2.2 로그함수

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AI를 위한 기초수학

 

로그

a > 0, a=/= 1, b > 0 인 실수 a, b에 대하여 $ a^{x} = b $ 를 만족하는 실수 x를 다음과 같이 표기한다.
$x = log_ab$ 
x를 a를 밑으로 하는 b의 로그.
a : 밑 base, b : 진수 antilogarithm
 
예제
log_{a}{(x^2-ax+1)}가 정의되려면, 
a >0, a =/= 1, x^2-ax+1 >0 이어야한다. 
해당 이차방정식이 0 초과라면 근이 없다는것. 즉 D = a^2 - 4 > 0 -> -2 < a  < 2
 
모든 조건을 충족하는 a의 범위
 0 < a < 2
 
 

로그 성질 1

a > 0, a =/= 1을 만족하는 실수 a, 양의  실수 x,y, 실수 r에 대하여 다음이 성립.
 
$log_{a}{1} = 0, log_{a}{a} = 1$
$log_{a}{xy} = log_{a}{x} + log_{a}{y}$
$log_{a}(\frac{x}{y}) = log_{a}{x} - log_{a}{y}$
$log_{a}{x^{r}} = rlog_{a}{x}$
 
 
예제
ⓐ 6
ⓑ log_{2}{6}
 
 

로그 성질 2

a > 0, a =/= 1, b > 0 , c > 0, c=/= 1을 만족하는 실수 a, b, c와 실수 m.n에 대하여 다음이 성립.
 
$log_{a}{b} = \frac{log_{c}{b}}{log_{c}{a}}$
$log_{a}{b} = \frac{1}{log_{b}{a}}$ ((단, b =/= 1))
$log_{a^{m}}{b^{n}} = \frac{n}{m}log_{a}{b}$
$b^{log_{a}{c}} = c^{log_{a}{b}}$
 
예제
ⓐ 2
ⓑ 2^{log_{2}{35}}
 
 

로그함수

a > 0, a =/= 1인 실수 a, 실수 집합 R에 대하여 로그 함수는 다음과 같다.
$f(x) = log_{a}{b}$ 
 

a > 1 일때,  $y = log_{a}{b}$ 는 증가함수. 
0 < a < 1 일때,  $y = log_{a}{b}$ 는 감소함수. 
 $y = log_{a}{b}$의 그래프는 항상 점 (1, 0)를 지나고, y축을 점근선으로 가짐.
 
예제

 
 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x1 = np.linspace(0.1,4,401)
y1 = np.log2(x1)
x2 = np.linspace(-0.9,4,501)
y2 = np.log2(x2+1)-1

g1, = plt.plot(x1, y1)
g2, = plt.plot(x2, y2)
plt.legend(handles = (g1, g2),
           labels=(r'$y=log_2(x)$', r'$y=log_2(x+1)-1$'))
plt.show()

 
 
확인문제

1. true
2. 
a. 1/3^{5/3}
b. 3^{8/3}
3.
a. 27
b. 0
4. 
-3 < a < 1
5.