2.2.1 지수함수

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AI를 위한 기초수학

 

지수 

 

$ 2^{-3} $	$ 2^{-2} $	$ 2^{-1} $	$ 2^{0} $	$ 2^{1} $	$ 2^{2} $	$ 2^{3} $
1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

 

2의 n승, 2의 n의 거듭제곱 이라고 읽음.

 

$ 2^{-5} = \frac{1}{2^{5}} $

거듭제곱의 지수 exponent가 음수이면, 거듭제곱의 밑 base가 분수가 된다. 

 

$  x\tfrac{a}{b} = \sqrt[b]{x^{a}} $

루트는 지수에서 분수로 표현가능하다.

 

 

예제

$ P(t) = t 시간 후의 바이러스의 수 = 2^{t} $

① $ P(24) = 2^{24} $

② $ P(\frac{19}{7})  = 2^{\frac{19}{7}} $

 

 

지수 계산 법칙

양수 a,b, 실수 p, q라고  가정

$a^{p} \cdot a^{q} = a^{p+q}$

$a^{p} \div a^{q} = a^{p-q} $

$ \frac{1}{a^{q}} = a^{-q}$

$(a^{p})^{q} = a^{pq}$

$a^{0} = 1$

 

$(ab)^{p} = a^{p}b^{p}$

$(\frac{a}{b})^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m}$

 

예제 2-5 

a) 2^7

b) 2^3

 

예제

① 2^7

② 4^{5/2}

③ 3a^{7/5}

④ 2a^{-7/5}

 

 

지수함수

a > 0, a =/= 1인 실수 a.

f(x) = a^x

a > 0 -> 제일 중요한 조건. 

a =/= 1 -> a=1이면 상수함수인거지, 함수자체가 성립안되는건 아님. 헷갈리지 말자.

 

지수함수의 그래프

a > 1 일때, y = a^x 는 증가함수

0 < a < 1 일때, y = a^x 감소함수

서로 우함수관계. y축 대칭.

y = 0 ((x축))을 점근선 asymptote 으로 가짐. 항상 ((0,1)) 을 지난다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 301)
y1 = 2**x
y2 = 2**(-x)
y3 = -2**x

g1, = plt.plot(x, y1)
g2, = plt.plot(x, y2)
g3, = plt.plot(x, y3)
plt.axhline(y=0, color='black', linewidth=1)
plt.axvline(x=0, color='black', linewidth=1)
plt.legend(handles = (g1, g2, g3), labels = (r'$y=2^{x}$', r'$y=2^{-x}$', r'$y=-2^{x}$'))
plt.show()

 

 

 

 

예제 2-6

① 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 2, 301)
y1 = 3**x
y2 = 3**(x-1) + 2

g1, = plt.plot(x, y1)
g2, = plt.plot(x, y2)
plt.legend(handles = (g1, g2), labels = (r'$y=3^{x}$', r'$y=3^{x-1}+2$'))
plt.show()

 

② 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 2, 301)
y1 = 2**x
y2 = -2**(-x-2)

g1, = plt.plot(x, y1)
g2, = plt.plot(x, y2)
plt.legend(handles = (g1, g2), labels = (r'$y=2^{x}$', r'$y=-2^{-x-1}$'))
plt.show()