1.3 역함수

http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=d87b1823aee4cf64

AI를 위한 기초수학

 

전단사함수란

 

단사 함수 injective func.

 

정의역의 원소들은 모두 공역의 원소 중 단 하나에 대응하는 함수

-> 임의의 x1, x2 ∈ A 에 대하여 f((x1)) = f((x2)) 이면 x1=x2이다.

 

전사 함수 surjective func.

공역 = 치역인 함수 

-> 임의의 y ∈  B 에 대하여 y=f((x)) 를 만족하는 x ∈ A가 존재한다.

 

전단사 함수 bijective func.

 

 

전사, 단사를 모두 만족하는 함수. 일대일 대응.

 

역함수

 

◇ : 항등원 △ : 역원 이라고 가정, 덧셈공식에서의 항등원과 역원에 대해서 복기해보자.

3 + ◇ = 3 

3+ △ = ◇

 

똑같이 함수에 적용해볼 수 있다.

$ g \circ ◇ = g $ 

$ 3  \circ △ = ◇ $

 

$$ (f\circ g)^{-1}(x)=g^{-1}\circ f^{-1} \neq f^{-1}\circ g^{-1} $$

 

 

 

 

f((x)) = x^2이 역함수가 존재할까?

 

안되는 이유

1. 전사함수

2. y > 0 && x ∈ R

+ 문제상에선 공역의 범위를 언급하지 않았다. 공역이 [0, ∞) 임을 언급해줬어야 한다.

 

만약 정의역을 {x | x > = 0인 실수}라고 정했다면

 

x=np.linspace(0,5,501)
def f(x):
    return x**2
def g(x):
    return np.sqrt(x)
def h(x):
    return x
plt.plot(x, f(x), x, g(x), x, h(x))
plt.axis('equal') # x축, y축 스케일을 동일하게 만들어 대칭 확인이 쉬움
plt.grid(True) # 격자선 표시
plt.ylim(0,6)
plt.show()

 

 

 

$ f(x) = 3x-4,  g(x) = x^2 +1 $

 

 

def f(x):
    return 3*x-4
def f_inv(x):
    return (x+4)/3
def identity(x):
    return x

x=np.linspace(-1,5,601)
graph, = plt.plot(x,f(x))
graph1,= plt.plot(x,f_inv(x))
graph2,= plt.plot(x,identity(x), '--')
plt.legend(handles=(graph,graph1,graph2),
    labels=(r'$y=f(x)$', r'$y=f^{-1}(x)$', r'$y=x$'))
plt.ylim(-1,5)
plt.show()

 

 

 

def identity(x):
    return x

def g(x):
    return x**2+1
def g_inv(x):
    return np.sqrt(x-1)
x=np.linspace(0,6,601)
graph, = plt.plot(x,g(x))
graph1, = plt.plot(x,g_inv(x))
graph2, = plt.plot(x,identity(x), '--')
plt.legend(handles=(graph,graph1,graph2),
           labels=(r'$y=g(x)$', r'$y=g^{-1}(x)$', r'$y=x$'))
plt.ylim(0,6)
plt.show()

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확인문제

1.

참

2. 

1) injective func.?
서로 다른 입력값이 서로 다른 출력값으로 가는지. 

$ f(x1)=f(x2) -> x1=x2 $

A: true

2) surjective func.?

모든 공역에 대해 적어도 하나의 정의역이 존재하여 f((x)) =y를 만족하는지.

$ f(x) = y $

A: true

3.

y=x-1/x-2

4.

$f^{-1}(1)=0$

5. 

f(x)와 역함수 f^-1(x)의 교점이 존재한다면, 그 교점은 y=x와 도 만난다. 

따라서 f(x) = x인 값이 존재하는지 확인하면 된다.

x^3+x+1 = x

x=-1

 

 

번외

파이썬코딩시 오류문을 만나서 해당 부분에 대한 설명을 첨부해서 기록한다.

graph1, =plt.plot(x,y1)

graph1 =plt.plot(x,y1) 차이

 

graph1, =plt.plot(x,y1)
의도적으로 단일 객체만을 변수에 저장. 리스트 내부의 첫 번째 원소(예시에서는 graph[0]) 를 저장.

이 코드에서 ,(쉼표)는 언팩을 의미. 

 

graph1 =plt.plot(x,y1)

리스트를 반환. 이 경우 graph1는 리스트 형태.

 

 

 

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https://blog.naver.com/obrigadu/50100112933

단사(Injective), 전사(Surjective), 전단사(Bijective)